Toán 10 tập 2 trang 86: Bài tập cuối chương 10

Giải toán 10 tập 2 trang 86 bài tập cuối chương 10 sách Chân trời sáng tạo có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán 10 tập 2 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 10 tập 2 trang 86

Bài 1 trang 86 Toán 10 tập 2

Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương có ba chữ số:

a. Hãy mô tả không gian mẫu.

b. Tính xác suất biến cố “Số được chọn là lập phương của một số nguyên”.

c. Tính xác suất của biến cố “Số được chọn chia hết cho 5”.

Hướng dẫn:

a. $\Omega$ = {100; 101; 102; 103; …; 997; 998; 999}

b. Số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega)$ = 900

Gọi B là biến cố “Số được chọn là lập phương của một số nguyên”.

Ta có: $1^{3} = 1; 2^{3} = 8; 3^{3} = 27; 4^{3} = 64; 5^{3} = 125$;

$6^{3} = 216; 7^{3} = 343; 8^{3} = 512; 9^{3} = 729; 10^{3}$ = 10000.

$\Rightarrow$ B = {125; 216; 343; 512; 729} $\Rightarrow$ n(B) = 5

$\Rightarrow$ Xác suất của B là: P(B) = $\frac{5}{900} = \frac{1}{180}$.

c. Gọi C là biến cố “Số được chọn là số chia hết cho 5”.

$\Rightarrow C = {100; 105; 110; 115; …; 990; 995} \Rightarrow n(C) = \frac{995 – 100}{5} + 1 = 180$

$\Rightarrow$ Xác suất của C là: $P(C) = \frac{180}{900} = \frac{1}{5}$.

Bài 2 trang 86 Toán 10 tập 2

Gieo bốn đồng xu cân đối và đồng chất. Xác định biến cố đối của mỗi biến cố sau và tính xác suất của nó.

a. “Xuất hiện ít nhất ba mặt sấp”;

b. “Xuất hiện ít nhất một mặt ngửa”.

Hướng dẫn:

a. Gọi A là biến cố “Xuất hiện ít nhất ba mặt sấp”.

$\Rightarrow$

Biến cố đối của biến cố A là \bar{A}:

“Xuất hiện ít nhất hai mặt ngửa”.

Tổng số kết quả có thể xảy ra của phép thử là: n(\Omega) = 2^{4} = 16

Ta có $A = {NSSS; SNSS; SSNS; SSSN; SSSS} \Rightarrow n(A) = 5$

Xác suất của A là: $P(A) = \frac{5}{16}$

b. Gọi B là biến cố “Xuất hiện ít nhất một mặt ngửa”.

$\Rightarrow$

Biến cố đối của biến cố B là $\bar{B}$

“Không xuất hiện mặt ngửa nào”.

$\Rightarrow \bar{B} = {SSSS} \Rightarrow n(\bar{B}) = 1$

Xác suất để xảy ra biến cố B là: $P(B) = 1 – P(\bar{B}) = 1 – \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.

Bài 3 trang 86 Toán 10 tập 2

Gieo ba con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

a. “Tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 5”;

b. “Tích số chấm xuất hiện chia hết cho 5”.

Hướng dẫn:

a. Số các kết quả có thể xảy ra của phép thử trên là $n(\Omega) = 6^{3} = 216$

Gọi A là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 5”.

Vì số chấm nhỏ nhất trên mỗi xúc xắc là 1, nên tổng số chấm xuất hiện trên sau khi thực hiện phép thử luôn lớn hơn hoặc bằng 3.

Ta có: 3 = 1 + 1 + 1

4 = 1 + 1 + 2 = 1 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1

$\Rightarrow A = {(1; 1; 1), (1; 1; 2), (1; 2; 1), (2; 1; 1)} \Rightarrow n(A) = 4$

$\Rightarrow$

Xác suất của biến cố A là: $P(A) = \frac{4}{216} = \frac{1}{54}4.$

b. Gọi B là biến cố “Tích số chấm xuất hiện chia hết cho 5”.

$\Rightarrow$

Biến cố đối của biến cố B là \bar{B}

“Tích số chấm xuất hiện không chia hết cho 5”.

Để tích số chấm không chia hết cho 5 thì kết quả của phép thử không được xuất hiện mặt 5 chấm $\Rightarrow$

Số kết quả thuận lợi cho $\bar{B} = 5^{3} = 125$

$\Rightarrow$

Xác suất của biến cố B là $P(B) = 1 – P(\bar{B}) = 1 – \frac{125}{216} = \frac{91}{216}$.

Bài 4 trang 86 Toán 10 tập 2

Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ. Hộp thứ hai chứa 5 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ. Các viên có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ra ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 viên bi. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

a. “Bốn viên bi lấy ra có cùng màu”;

b. “Trong 4 viên bi lấy ra có đúng 1 viên bi xanh”;

c. “Trong 4 viên bi lấy ra có đủ cả bi xanh và bi đỏ”.

Hướng dẫn:

a. Số kết quả có thể xảy ra của phép thử trên là:

Gọi A là biến cố “Bốn viên bi lấy ra có cùng màu”.

Số các kết quả thuận lợi cho A là $n(A) = C_{4}^{2}.C_{5}^{2} + C_{3}^{2}.C_{2}^{2} = 63$

Xác suất của biến cố A là: $P(A) = \frac{63}{441} = \frac{1}{7}$

b. Gọi B là biến cố “Trong 4 viên bi lấy ra có đúng 1 viên bi xanh”.

Số các kết quả thuận lợi cho B là: $n(B) = C_{4}^{1}.C_{3}^{1}.C_{2}^{2} + C_{3}^{2}.C_{5}^{1}.C_{2}^{1} = 42$

Xác suất của biến cố B là: $P(B) = \frac{42}{441} = \frac{2}{21}$.

c. Gọi C là biến cố “Trong bốn viên lấy ra có đủ cả bi xanh và bi đỏ”.

$\Rightarrow$

Biến cố đối của biến cố C là “Bốn viên bi lấy ra có cùng màu”.

Theo phần a, ta tính được $P(\bar{C}) = \frac{1}{7}$

$\Rightarrow$

Xác suất của biến cố C là: $P(C) = 1 – P(\bar{C}) = 1 – \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$

Bài 5 trang 86 Toán 10 tập 2

Một nhóm học sinh được chia vào 4 tổ, mỗi tổ có 3 học sinh. Chọn ra ngẫu nhiên từ nhóm đó 4 học sinh. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

a. “Bốn bạn thuộc 4 tổ khác nhau”;

b. “Bốn bạn thuộc 2 tổ khác nhau”.

Hướng dẫn:

a. Số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega) = C_{12}^{4} = 495$.

Gọi A là biến cố “Bốn bạn thuộc 4 tổ khác nhau” $\Rightarrow n(A) = C_{3}^{1}. C_{3}^{1}. C_{3}^{1}. C_{3}^{1} = 81$

Xác suất của biến cố A là: $P(A) = \frac{81}{495} = \frac{9}{55}$

b. Gọi B là biến cố “Bốn bạn thuộc hai tổ khác nhau”.

Ta có, chọn 2 tổ trong 4 tổ có $C_{4}^{2}$ cách chọn.

Trường hợp 1: Chọn mỗi tổ 2 người, có $C_{3}^{2}.C_{3}^{2}$ cách.

Trường hợp 2: Chọn một tổ 3 người, một tổ 1 người, ta có $2.C_{3}^{1}. C_{3}^{3}$ cách.

\Rightarrow

Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là: n(B) = $C_{4}^{2}. C_{3}^{2}. C_{3}^{2} + C_{4}^{2}. 2. C_{3}^{3}. C_{3}^{1} = 90$

Xác suất của biến cố B là: P(B) = $\frac{90}{495} = \frac{2}{11}.$

Bài 6 trang 86 Toán 10 tập 2

Một cơ thể có kiểu gen là AaBbDdEe, các cặp alen nằm trên các cặp nhiễm sắc thể tương đồng khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một giao tử của cơ thể sau khi giảm phân. Giả sử tất cả các giao tử sinh ra có sức sống như nhau. Tính xác suất để giao tử được chọn mang đầy đủ các alen trội.

Hướng dẫn:

Tổng số giao tử được tạo ra sau khi giảm phân là $n\left( \Omega \right) = {2^8}$

Giao tử được chọn mang đầy đủ các alen trội khi giao tử có kiểu gen luôn có các alen A, B, D, E

Số kết quả thuận lợi cho việc chọn giao tử mang đầy đủ gen trội là n = 1.2.1.2.1.2.1.2 = ${2^4}$

Suy ra xác suất để giao tử được chọn mang đầy đủ các alen trội là P = $\frac{{{2^4}}}{{{2^8}}} = \frac{1}{{16}}$

Bài 7 trang 86 Toán 10 tập 2

Sắp xếp 5 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 5 một cách ngẫu nhiên để tạo thành một số tự nhiên a có 5 chữ số. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

a. “a là số chẵn”;

b. “a chia hết cho 5”;

c. $”a \geq 32 000″$;

d. “Trong các chữ số của a không có 2 chữ số lẻ nào đứng cạnh nhau”.

Hướng dẫn:

a. Số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega)$ = 5! = 120

Vì a là số chẵn nên có hai cách chọn ra chữ số hàng đơn vị là 2 hoặc 4, xếp 4 chỗ còn lại có 4! cách.

$\Rightarrow$

Số phần tử có lợi cho biến cố “a là số chẵn” là: n = 2.4! = 48

$\Rightarrow$

Xác suất của biến cố “a là số chẵn” là: P = $\frac{48}{120} = \frac{2}{5}$

b. a chia hết cho 5 nên chữ số hàng đơn vị nhận giá trị 5, có 1 cách xếp hàng đơn vị. 4 chỗ còn lại có 4! cách.

$\Rightarrow$

Số phần tử thuận lợi cho biến cố “a là số chia hết cho 5” là: n = 4! = 24

$\Rightarrow$

Xác suất của biến cố “a là số chia hết cho 5” là: P = $\frac{24}{120} = \frac{1}{5}$

c.

Trường hợp 1: Chọn chữ số hàng chục nghìn là 4 hoặc 5, có 2!. 4! = 48 (cách chọn).

Trường hợp 2: Chọn chữ số hàng chục nghìn là 3, thì chữ số hàng nghìn có 3 cách chọn (2, 4 , 5), 3 số còn lại có 3! cách xếp $\Rightarrow$ Có tất cả: 1.3.3! = 18

$\Rightarrow$

Số phần tử thuận lợi cho biến cố $”a \geq 32 000″$ là: n = 48 + 18 = 66

$\Rightarrow$

Xác suất của biến cố $”a \geq 32 000″$

là: P = $\frac{66}{120} = \frac{11}{20}.$

d. Số a không có hai chữ số lẻ nào đứng cạnh nhau có dạng: x2x4x hoặc x4x2x

\Rightarrow

Số phần tử thuận lợi cho biến cố “Trong các chữ số của a không có 2 chữ số lẻ nào đứng cạnh nhau” là: n = 2. 3! = 12

$\Rightarrow$

Xác suất của biến cố trên là: P = $\frac{12}{120} = \frac{1}{10}.$

Bài 8 trang 86 Toán 10 tập 2

Lớp 10A có 20 bạn nữ, 25 bạn nam. Lớp 10B có 24 bạn nữ, 21 bạn nam. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi lớp ra hai bạn đi tập văn nghệ. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

a. “Trong 4 bạn được chọn có ít nhất 1 bạn nam”;

b. “Trong 4 bạn được chọn có đủ cả nam và nữ”.

Hướng dẫn:

Tổng số khả năng có thể xảy ra của phép thử là $n\left( \Omega \right) = C_{45}^2.C_{45}^2$

a) Gọi A là biến cố “Trong 4 bạn được chọn có ít nhất 1 bạn nam”, ta có biến cố đối \overline A

: “Trong 4 bạn được chọn không có bạn nam nào”

\overline A

xảy ra khi các bạn được chọn đều là nữ. Số kết quả thuận lợi cho biến cố \overline A

là $n\left( {\overline A } \right) = C_{20}^2.C_{24}^2$

Xác suất của biến cố $\overline A$

là $P\left( {\overline A } \right) = \frac{{n\left( {\overline A } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_{20}^2.C_{24}^2}}{{C_{45}^2.C_{45}^2}} = \frac{{874}}{{16335}}$

Suy ra, xác suất của biến cố A là $P\left( A \right) = 1 – P\left( {\overline A } \right) = 1 – \frac{{874}}{{16335}} = \frac{{15461}}{{16335}}$

b) Gọi A là biến cố “Trong 4 bạn được chọn có đủ cả nam và nữ” ta có biến cố đối \overline A

: “Trong 4 bạn được chọn đều là nữ hoặc đều là nam”

$\overline A$ xảy ra khi các bạn được chọn đều là nữ hoặc nam. Số kết quả thuận lợi cho biến cố $\overline A$

là $n\left( {\overline A } \right) = C_{20}^2.C_{24}^2 + C_{25}^2.C_{21}^2$

Xác suất của biến cố $\overline A$

là $P\left( {\overline A } \right) = \frac{{n\left( {\overline A } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_{20}^2.C_{24}^2 + C_{25}^2.C_{21}^2}}{{C_{45}^2.C_{45}^2}} = \frac{{1924}}{{16335}}$

Suy ra, xác suất của biến cố A là $P\left( A \right) = 1 – P\left( {\overline A } \right) = 1 – \frac{{1924}}{{16335}} = \frac{{14411}}{{16335}}$

Bài 9 trang 86 Toán 10 tập 2

Trong hộp có 5 bóng xanh, 6 bóng đỏ và 2 bóng vàng. Các bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy 2 bóng từ hộp, xem màu, trả lại hộp rồi lại lấy tiếp 1 bóng nữa từ hộp. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

a. “Ba bóng lấy ra cùng màu”;

b. “Bóng lấy ra lần 2 là bóng xanh”;

c. “Ba bóng lấy ra có 3 màu khác nhau”.

Hướng dẫn:

a. Số kết quả có thể xảy ra của phép thử là: $n(\Omega) = C_{13}^{2}.13 = 1014$

Gọi A là biến cố “Ba bóng lấy ra cùng màu”.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là:

$n(A) = C_{5}^{2}.5 + C_{6}^{2}.6 + C_{2}^{2}.2 = 142$

Xác suất của biến cố A là: P(A) = $\frac{142}{1014} = \frac{71}{507}.$

b. Gọi B là biến cố “Bóng lấy ra lần 2 là bóng xanh”.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là: $n(B) = C_{13}^{2}.5 = 390$

Xác suất của biến cố B là: P(B) = $\frac{390}{1014} = \frac{5}{13}.$

c. Gọi C là biến cố “Ba bóng lấy ra có 3 màu khác nhau”.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố C là: $n(C) = C_{5}^{1}. C_{6}^{1}.2 + C_{5}^{1}. C_{2}^{1}. 6 + C_{6}^{1}. C_{2}^{1}.5 = 180$

Xác suất của biến cố C là: P(C) = $\frac{180}{1014} = \frac{30}{169}.$