Toán 10 tập 2 trang 9 Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai

Giải toán 10 tập 2 trang 9 bài 1 sách Chân trời sáng tạo có đáp án chi tiết cho từng bài tập trong sách giáo khoa Toán 10 tập 2 Chân trời sáng tạo. Mời các em học sinh cùng quý phụ huynh tham khảo.

Toán 10 tập 2 trang 9

Bài 1 trang 9 Toán 10 tập 2

Đa thức nào sau đây là tam thức bậc hai?

a. $4{{x}^{2}}+3x+1$

b. ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-1$

c. $2{{x}^{2}}+4x-1$

Hướng dẫn:

a.$4{{x}^{2}}+3x+1$

là tam thức bậc hai có a = 4; b = 3; c = 1

b. ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-1$

không là tam thức bậc hai

c. $2{{x}^{2}}+4x-1$

là tam thức bậc hai có a = 2; b = 4; c = -1

Bài 2 trang 9 Toán 10 tập 2

Xác định giá trị của m để các đa thức sau là tam thức bậc hai.

a. $(m+1){{x}^{2}}+2x+m$

b. $m{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x+m$

c. $-5{{x}^{2}}+2x-m+1$

Hướng dẫn:

Giá trị của m để các đa thức sau là tam thức bậc hai:

a. $(m+1){{x}^{2}}+2x+m$ là tam thức bậc hai khi $m+1\ne 0\Leftrightarrow m\ne -1$

b. $m{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x+m$ không là tam thức bậc hai.

c. $-5{{x}^{2}}+2x-m+1$ là tam thức bậc hai với mọi m.

Toán 10 tập 2 trang 10

Bài 3 trang 10 Toán 10 tập 2

Dựa vào đồ thị của các hàm số bậc hai sau đây, hãy lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai tương ứng.

Hướng dẫn:

a. $f(x)={{x}^{2}}+1,5x-1$ có $\Delta =\frac{25}{4}>0$, hai nghiệm phân biệt là ${{x}_{1}}=-2 ; {{x}_{2}}=\frac{1}{2} và a = 1 > 0$

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Vậy f(x) dương trong hai khoảng $\left( -\infty ;\frac{1}{2} \right)$ và $\left( -2;+\infty \right)$ và âm trong khoảng $\left( \frac{1}{2};-2 \right).$

b. $g(x)={{x}^{2}}+x+1$ có $\Delta =-3<0$ và a =1 >0 . Vậy f(x) dương với mọi $x\in \mathbb{R}$

$c.h(x)=-9{{x}^{2}}-12x-4$ có $\Delta = 0$, nghiệm kép là ${{x}_{o}}=\frac{-2}{3}$ và a =-9<0.

Vậy f(x) âm với mọi $x\ne \frac{-2}{3}$

d. $f(x)=-0,5{{x}^{2}}+3x-6$ có $\Delta =-3<0$ và a =-0,5 . Vậy f(x) âm với mọi $x\in \mathbb{R}$

$e. g(x)=-{{x}^{2}}-0,5x+3$ có $\Delta =\frac{49}{4}>0$ , hai nghiệm phân biệt là ${{x}_{1}}=-2 ; {{x}_{2}}=\frac{3}{2}$ và a = -1 < 0

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Vậy f(x) dương trong hai khoảng $\left( -\infty ;-2 \right)$ và $\left( \frac{3}{2};+\infty \right)$

và âm trong khoảng $\left( -2;\frac{3}{2} \right).$

$g. h(x)={{x}^{2}}+2\sqrt{2}x+2$ có $\Delta$ = 0, nghiệm kép là ${{x}_{o}}=-\sqrt{2}$ và a = -9 < 0.

Vậy f(x) âm với mọi $x\ne -\sqrt{2}$

Bài 4 trang 10 Toán 10 tập 2

Xét dấu của tam thức bậc hai sau đây

a. $f(x) = 2x^{2} + 4x + 2$

b. $f(x) = -x^{2} + 2x + 21$

c. $f(x) = -2x^{2} + x – 2$

d. $f(x) = -4x (x+3) – 9$

e. $f(x) = (2x+5) (x-3)$

Hướng dẫn:

a. $\Delta = 4^{2} – 4.2.2 = 0$ . Và đa thức có nghiệm $x= \frac{-4}{2.2}=-1$

Mặt khác a= 2 > 0 nên f(x) luôn dương với mọi x khác -1

b.$\Delta = 2^{2} – 4(-3).21 = 256 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt : $x= \frac{-2-\sqrt{256}}{2.(-3)} = 3; x = \frac{-7}{3}$ và a= -1 < 0 nên f(x) mang dấu âm khi x nằm trong khoảng $(\frac{-7}{3}; 3)$ và mang dấu dương với mọi x nằm ngoài khoảng $(\frac{-7}{3}; 3)$

c.$\Delta = (-2)^{2} – 4(-2)(-2)= -12$< 0 và a= -2 < 0 nên f(x) luôn âm với mọi x

d. $f(x)= -4x^{2} – 12x -9.$

$\Delta = (-12)^{2} – 4(-4)(-9)$ = 0 nên có nghiệm kép là x = -1,5 và a= -4

=> f(x) mang dấu âm với mọi x khác -1,5

e. f(x) = $2x^{2}$ – x – 15.

$\Delta = (-1)^{2} – 4.2.15= -119$ < 0 , và a= 2 > 0 nên f(x) âm

Bài 5 trang 10 Toán 10 tập 2

Độ cao ( tính bằng mét) của quả bóng so với vành rổ khi bóng di chuyển được x mét theo phương ngang được mô phỏng theo hàm số h(x) = $-0,1x^{2}$ + x -1.

Trong các khoảng nào của x thì bóng nằm: cao hơn vành rổ, thấp hơn vành rổ, và ngang vành rổ. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Hướng dẫn:

Hàm số h(x) có $\Delta = 1^{2} -4(-0,1)(-1) = 0,6$ >0 nên sẽ có hai nghiệm phân biệt : $x_{1}$ = 9, $x_{2}$ = 1. và a = -0,1<0

Vây :

Bóng nằm cao hơn vành rổ khi bóng nằm trong khoảng (1;9)

Bóng nằm thấp hơn vành rổ khi bóng nằm trong khoảng $(-\infty ; 1)$ và $( 9; +\infty )$

Bóng nằm ngang vành rổ khi bóng ở độ cao 1m hoặc 9m

Bài 6 trang 10 Toán 10 tập 2

Một khung dây thép hình chữ nhật có chiều dài 20cm và chiều rộng 15cm được uốn lại thành khung hình chữ nhật mới có kích thước (20 +x) và (15-x) cm. Với x nằm trong khoảng nào thì diện tích của khung sau khi uốn: tăng lên, không thay đổi, giảm đi.

Hướng dẫn:

Diện tích của khung dây thép khi chưa uốn là : 20.15 = 300 $(cm^{2})$

Diện tích của khung dây thép khi đã uốn là : (20 + x). (15-x) = 300 – 5x – $x^{2}$

. Như vậy diện tích của khung sau khi uốn tùy thuộc vào giá trị của hàm số f(x) = 5x + $x^{2}$.

Xét hàm số f(x) có $\Delta = 5^{2} – 4.1.0 = 25 > 0$

$\Rightarrow$ có hai nghiệm phân biệt : $x_{1} = \frac{-5-\sqrt{25}}{2. 1}= -5$; $x_{2} = \frac{-5+\sqrt{25}}{2. 1}= 0$ và có a = 1 > 0. Nên :

f(x) mang dấu dương khi x thuộc (-5;0)

$\Rightarrow$ Diện tích khung hình sau khi uốn nhỏ hơn trước khi uốn (giảm đi )

f(x) mang dấu âm khi x thuộc $(-\infty ; -5)$ và $(0 ; +\infty )$

$\Rightarrow$ Diện tích khung hình sau khi uốn lớn hơn trước khi uốn (tăng lên )

f(x) = 0 khi x = 0 hoặc x = $-5 \Rightarrow$

Diện tích khung hình sau khi uốn và trước khi uốn là không thay đổi

Bài 7 trang 10 Toán 10 tập 2

Chứng minh rằng với mọi số thực m ta luôn có : $9m^{2}$ + 2m > -3

Xét hàm số f(m) = $9m^{2}$ + 2m + 3

. Ta có $\Delta = 2^{2}- 4.9.3$ = -104 < 0

và có a = 9 > 0. Nên f(m) > 0 với mọi m nghĩa là $9m^{2}$ + 2m > 3

Bài 8 trang 10 Toán 10 tập 2

Tìm giá trị của m để :

a. $2x^{2} + 3x + m + 1 > 0$ với mọi $x\epsilon \mathbb{R}$

b. $mx^{2} + 5x – 3 \leq 0$ với mọi $x\epsilon \mathbb{R}$

Hướng dẫn:

a. Hàm số $2x^{2}$ + 3x + m + 1 có $\Delta = 3^{2} – 4.2(m+1)$ = 1- 8m. và a= 2 > 0 nên:

Để $2x^{2}$ + 3x + m + 1 > 0 với mọi $x\epsilon \mathbb{R}$

thì $\Delta < 0 \Rightarrow 1 – 8m < 0 \Rightarrow m> \frac{1}{8}$

b. Xét hàm số $mx^{2}$ + 5x – 3

có : $\Delta = 5^{2} – 4.m.(-3) = 25 + 12m$

Để $mx^{2} + 5x – 3 \leq 0$ với mọi $x\epsilon \mathbb{R}$ thì :

$\Delta$ < 0 và m < 0 $\Rightarrow m < \frac{-25}{12}$